鸿蒙级别（1 / 1）

就是复制自知乎

如果a是集合，我们说{a}是a的封装。类似地，如果a，b，c都是集合，我们说{a，b，c}是a，b，c的封装。用逗号和大括号按上述规则进行封装，得到的对象都是集合。例如{{}}是集合，{{{}}}是集合，{{{}}，{{{}}}}，{{{{}}}，{{{{}}}}}，也都是集合。对任意集合a，我们说a是{a}的元素，也可以说a在{a}里面，{a}在{{a}}里面。首先把空集{}记作。然后对进行封装，得到{}，然后把它记作1。再把目前为止已有的集合，即和1进行封装，得到{，1}，把它记作2。继续把目前为止已有的集合，即、1、2进行封装，得到{，1，2}，把它记作3。以此类推这里用到的符号“”，“1”，“2”都只是这些集合的简略表示。我们可以把这些符号一一展开，得到原始表示。

={}1={{}}2={{}，{{}}}3={{}，{{}}，{{}，{{}}}}4={{}，{{}}，{{}，{{}}}，{{}，{{}}，{{}，{{}}}}}

我们一般将这些集合称作为有限序数。有限序数的顺序：对于任意有限序数n和m，如果n在m里面，我们就说n排在m之前——也就是m排在n之后。比如因为3在4（即{，1，2，3}里，所以说3在4之前——或者说4在3之后。我们把从按顺序的中间无遗漏的序数排列叫做序列。例如：是序列。，1是序列。，1，2是序列，1，2，3，4，5，6，7，8，也是序列。但123，124，125不是序列。除了之外，所有有限序数都是对某个序列的封装。例如1是的封装，2是，1的封装，5是，1，2，3，4的封装我们把不以省略号结尾的序列的封装叫做后继序数，把对这种序列进行封装的操作叫做取后继。对于有限序数n，我们把序列，1n的封装叫做n的后继，记作n?。比如：1是的后继，2是1的后继。

2?={，1，2}=35?={，1，2，4，5}=611?={，1，2，3，4，5，6，7，8，9，1，，11}=12除了之外，所有的有限序数都是后继序数，即目前为止，我们所已经构造的之后的序数都是对某个不以省略号结尾的序列进行封装得到的。我们希望扩展序数的构造法，使对“以省略号结尾的序列”进行封装所得到的集合也是序数。存在一个集合，它包含且只包含所有的有限序数，即={，1，2}——就是自然数集。可以看到，对里的任意n，不管n排在多少数之后，都存在排在n之后的数（比如n?也在里面。扩展有限序数顺序的定义，我们认为排在所有有限序数之后，因为所有有限序数都在里面。又因为只包含有限序数而别无其他，我们认为是紧随所有有限序数之后的下一个序数，即是最初的无限序数。可以表示出该序列：，1，2，（省略号指一直写，。之后的后继序数——扩展有限序数后继的定义，可以继续对取后继。对序列，1，2，，再次进行封装，得到?={，1，2，，}。无限继续下去：??={，1，2，，，?}，???={，1，2，，，?，??}，把上标n个?记作+n，比如把???写作+3。那么可以写出如下序列：，1，2，，，+1，+186，＋618618?是后继序数，但本身不是后继序数，因为是以省略号结尾的序列的封装。我们把这样的序数叫做极限序数，把对这种序列进行封装的操作叫做取极限，取得的极限序数就叫做其对应序列的极限。例如我们可以说是对序列，1，2，取极限得到的，它是序列，1，2，的极限。是最初的极限序数，排在之后的下一个极限序数是+={，1，2，，，+1，+2，}，它是序列，1，2，，，+1，+2，的极限。容易看出，对任意序数，它要么是，要么是后继序数，要么是极限序数，三者必属于其一。我们可以对+继续取后继，得到序列+，++1，++2，。

再对其取极限，得到++，它是+之后的下一个极限序数。把n个用+号相连的式子记作?n，有如下序列：?2?3。我们把这个序列的极限记作?。类似地，将n个用?号相连的式子记作^n，有如下序列：^2^3。我们把这个序列的极限记作^。在无穷的领域里，一前一后的两个序数可以有相同的大小。基数是刻画集合大小，而序数是刻画顺序。

首先在有限的世界里，集合的大小可以直观地理解为集合中元素的个数。有限序数本身就已经完美刻画出了有限集合的大小。有限基数就定义为有限序数。例如，{a，b，c}里面有三个元素，而有限序数3={，1，2}里面也有三个元素，我们就说{a，b，c}的基数是3，记做|{a，b，c}|=3。把符号“3”展开，我们说|{a，b，c}|={{}，{{}}，{{}，{{}}}}。对任意有限序数n，有|n|=n。

对任意两个集合a和b，我们用a≈b表示a和b的元素一一对应。例如，有{a，b，c，d，go，ju}≈6，因为{a，b，c，d，go，ju}的元素与6的元素可以一一对应。故，a对应，b对应1，c对应2，d对应3，go对应4，ju对应5在有限领域里，对任意有限集合a和b，a≈b与|a|=|b|要么同时成立，要么同时不成立（数学中我们习惯说a≈b当且仅当|a|=|b|。例如有{a，b，c}≈3与|{a，b，c}|=3=|3|同时成立，又例如有{a，b}≈{c，d}与|{a，b}|=2=|{c，d}|同时成立。同时不成立的例子则有{a}?{c，d}且|{a}|=1≠2=|{c，d}|。将有限情况下的定义拓展，认为对任意（包括无限集合，a和b都有，a≈b与|a|=|b|要么同时成立，要么同时不成立。例如，如果我们找到了与+1的一一对应，我们就说||=|+1|。我们先看与+1分别有哪些元素。

={，1，2，}+1={，1，2，}我们可以这样一一对应：--，1--，2--1，3--2，4--3直观上，+1比多了一个元素，但通过上面的概念分析，+1只不过是排在了之后，而在一一对应的意义上，它们是相同的无穷大。容易看出，对任意有限序数n，有+n≈，即|+n|=||。例如+3可以这样与一一对应：

-，1--＋1，2--＋2，3--，4--1，5--2一般地12nn+1n+2n+3n+4||||||||+1+2+n123我们扩展有限基数的定义，把任意集合a的基数定义为可以与a一一对应的最初序数。例如，可以与2一一对应的最初序数就是2，因为排在2之前的序数1和显然不能与2一一对应，所以2的基数就是2，写作|2|=2。也就是说这个定义与前文所述有限基数的定义是一致的。而对于无限的情况，首先我们有||=。因为排在之前的任意有限序数n都不能与一一对应，所以就是能与一一对应的最初序数，所以的基数就是，写作||=1234nn+1n+2|||||1234n(n之后无对应)而之后呢。对任意有限序数n，|+n|=||。结合无限基数||的定义，我们有|+n|=。阿列夫零（及整个上界所有等级，纵然上界分级不少，但本质上都是阿列夫，没区别||是最小的无限基数，我们给它起一个名字??，读作阿列夫零。可以说|+n|=??。当用??这个符号时，强调的是我们在考察集合的基数，当用这个符号时，强调的是我们在考察集合的序数。而它们的本体，都是如下的集合：{，1，2，3，}或者把符号展开：{{}，{{}}，{{}，{{}}}，{{}，{{}}，{{}，{{}}}}，}这个就是大名鼎鼎的阿列夫零。

阿列夫一：阿列夫一，它是比??大的下一个基数，是不能与??一一对应的最小的序数。我们已经看到一大票无限序数与??一一对应（对任意有限序数n，|+n|=??，那+呢？它会不会就是不能与??一一对应的最小序数？先看??与+分别有哪些个元素。??={，1，2，}+={，1，2，，+1，+2，}直观看来，+就是在一个后面再接了一个。我们可以这样把它们与??一一对应：12345672n2n+1||||||||||1+12+23+3n+n实际上，可以证明^也与一一对应，以至于用递归的方法能够定义出的所有序数都与一一对应。这里就不把这些直观的展现出来了（别忘了这就是个小说。借助目前公认的集合论理论中的另一个工具——幂集公理，可以得到不与??一一对应的最初序数?，它就是??（阿列夫一，也就是鸿蒙一阶的量级。

类似序数，基数也是无穷向上攀爬的阶梯。??之后，我们继续取后继和极限，终究能达到不与它一一对应的序数?，它就是??。直观地，我们有如下基数与序数的对应关系：序数：12+1+2?2^2^??基数：12??????阿列夫3，阿列夫4，阿列夫5，阿列夫6阿列夫无穷阿列夫阿列夫999999阿列夫阿列夫阿列夫789678685（正文鸿蒙篇出现的量级，一般用xxx表示方法来描写到底是阿列夫多少如果集合的基数小于等于??，我们就说这个集合可数。其实就是用自然数给集合里的每个元素一个不漏的全部编上号，所以才叫可数。我们说任意有限序数是可数的，是可数的，^也是可数的，但?不可数，?之后的序数都不可数。?是最初的不可数序数，??（阿列夫一是最小的不可数基数。实际上，阿列夫一是很大的，它之所以大是因为其构造。虽然各种论外作品叠盒的时候，各种名词看起来强大无比，阿列夫一就显得貌似无比拉跨。但它们在构造角度，其实远远小于阿列夫。虽然各种叠盒早就“叠到了”“比阿列夫一厉害的多的层次”但它们普遍不过是虚有其表的套了个名头。真正意义上的阿列夫1不是几篇文章，几个论外，几个吹逼帖子就能描述的（包括这章。我们所谓的各种所谓的“无穷基数”“大基数”“绝对无限”“数学宇宙”本质上其实都只是阿列夫范畴，而阿列夫1，就算给人类无穷年，人类充其量也就是探索阿列夫的奥妙。除非阿列夫1年（也就是强行包含，否则阿列夫一？不可能人们叠盒的时候，所谓的“无穷基数”“大基数”“绝对无限”“数学宇宙”其实并不是指“无穷基数”“大基数”“绝对无限”“数学宇宙”它们本身。叠盒子叠的所谓“不可达基数”其实相较于阿列夫来说也不值一提——因为那根本不是真正的不可达基数。

总之鸿蒙大能很厉害就对了