第726章 希尔伯特第一问（1 / 8）

“离散和连续，可数无穷和不可数无穷，康托尔的研究在无穷领域中点亮了一丝曙光。”

“从古希腊时代以来一直存在于混沌之中，被人类认为是模糊且不可理解的实无穷因此有了具体的模样。”

“在数学领域中，康托尔的集合论与超穷数理论说是开天辟地也不为过。”

“其中最关键的一点就是，康托尔发现了无穷也是有不同的等级的。”

“既然有了第一个不同于可数无穷的无穷大，那么后面还有没有第二个、第三个甚至是无限多个？”

“康托尔对于直线、平面、立体的研究就是这个思想下的产物。”

李恒靠在那棵光秃秃的枣树下，将手中的一片树叶折叠成立体的形状。

“更多的维度需要更多的坐标进行确定，二维空间中的点应该多于一维直线上的点，因而空间上的点组成的集合应是比不可数集更大的等级。”

“这一点在微积分的计算中表现得很明显，一条无限长的直线与数轴围成的面积可以是一个有限值。”

“将一块面积有限的圆饼分割展开，能够形成一条无限长度的链条。”

“在高维空间中是有限大小的物体，在低维空间中却是无限大的，这似乎就是在说明，高维空间是更大的无穷大。”

“可惜，就像之前说过的那样，康托尔反而证明了维度的数量对于连续空间中的点集大小毫无影响。”

“在无穷大的世界里，人类直观的几何概念显然是毫无作用的。”

“为了寻找更大的基数，康托尔以集合论为基础重新出发，从每一个集合与自身子集之间的关系入手。”

一个集合{1，2，3}包含三个元素。

这个集合的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，共有7个。

最后再加上空集?，总共有2^3个子集。

类似的，可以证明对包含n个元素的集合，其子集的数量是2^n个。

这一点对于空集也是成立的。

空集中的元素为0，但空集也是自身的子集，因此空集的所有子集数量为1，也就是非空集合{?}。

这种方法正是后来以集合论为基础生成自然数的方法。