第三百三十二章：计数器（1 / 2）

反正现在也做不了别的事情，便又从“高于的集合设定”那一部分继续攀登冲往“无限”的漫长道路——

……为了更好地理解集合的大小，我们定义一个k，把小于k的一定数量（小于k的数量的数加在一起还是不如k大——＜与+均是小学数学课本上的内容，如果大家都长大成人了想必已对此会有更不一般的见解。

小于k的基数的下一个基数仍小于k——弱不可达就是指这种情况。小于k的基数的取幂后的基数也小于k——强不可达就是指这种情况。在连续统假设成立的情况下就无所谓强弱之分了。

接下来就稍微进阶下，让我们设置一个计数器——φ，φ的作用就是计数，数数应该是幼稚园就有的概念了。φ的功能就是在（中显示不可达基数的个数，比如φ（1就是数到第一个不可达基数，φ（2就是数到了第二个不可达基数。因为阿列夫对于小于它的数满足了上述条件，所以φ（1就数到了阿列夫；而下一个不可达基数则对小于它的数（包括阿列夫也满足了上述条件，所以φ（2就数到了它；φ（3同理……

就在这个计数器不停的数啊数啊数，数了好久好久，不知道是不是累了还是咋地迷糊了，数到k时，有φ（k=k。对于大到这么特别地不可达基数，我们决定给他颁个勋章，名称前缀个1-，也就是1-不可达基数。当然，还不止如此，作为特别款待，我们将用特别版的计数器来为其计数，也就是φ_1，有个特别的点缀。φ_1（1数到的就是最开始遇到的那个1-不可达基数。

就在这个计数器不停的数啊数啊数，数了好久好久，不知道是不是累了还是咋地迷糊了，数到k时，有φ_1（k=k。对于大到这么特别地不可达基数，我们决定给他颁个勋章，名称前缀个2-，也就是2-不可达基数。就这么颁奖下去啊，我们就有了一系列α-不可达基数。直到有一天，我们的计数表爆表了！

这里说的爆表当然不是说计数器数不下去了，而是勋章多的装不上去了。为什么会这样呢？因为我们的计数器已经数到头昏眼花，数到了φ_k（k=k。不得已，对于大到这么独特的不可达基数，我们决定给他颁个荣誉证书，冠名为超不可达基数。对于超不可达基数，我们决定换个豪华版计数器——Φ。

不过即使是Φ，也有数的头晕脑胀的时候，遇到了Φ（k=k。不过豪华版就是豪华版，即使到了这一步我们还是可以给它颁个勋章了事。但可恨的是，Φ终究也有数到神志不清的一天，遇到了Φ_（k=k，不得已，我们只能用超豪华典藏版来数这些超-超不可达基数。

但奈何啊，超豪华典藏版依旧重蹈覆辙，以至于我们都开始用φ来计数倒下了多少个计数器了。于是最终还是放弃了，因为φ又双叒叕数倒下了。好了，小学生的故事就到此结束！

“（还是在解释迭代，不过叙述要比之前简单一些了，适合数学基础比较薄弱的一类人吧……”

……再稍微进阶下，可以对φ作扩展成φ__以用φ_1_等同Φ的计数能力，φ_1_1等同Φ_1的计数能力。为了简洁，我们也可以表示成φ（x，y，或进一步扩展为φ（x，y，z，……，并以φ_k（x，y，z，……表示（x，y，z，……含k元变元，然后再进一步扩展为φ_（x，y，z，……（x，y，z，…………至于后面的高维扩展还是啥的随便你们玩了。

但玩的时候需要注意的是，计数器之所以能计数，还是因为有数可计，在zfc中你不可能因为已有的正则极限基数就执行{n是第n个正则极限基数|n∈}。而在zfc+存在不可达基数中，也仅包含宣告存在的不可达基数，下一个不可达基数都是不可达的，除非你添增一套公理模式，能够将zfc设计的计数器的计数都作为公理加入。