第724章 无缝的实数轴（5 / 6）

如果直线上的所有点都落入两个集合，第一个集合中的所有点都位于第二个集合的所有点的左边。

那么就存在唯一的一个点把所有的点划分成两类，从而把直线分割成两部分。

于是，通过定义集合A和b的成员和边界，就可以准确定义这点的值，数轴上真正不可再分的基本元素。

用数轴上位于左侧和右侧的两个互斥集合来定义一个点的数值，这就是戴德金分割的思想。

在之前的旅程里，一旦离开了处处均匀的整数世界，两人就沦陷在了有理数和无理数的稠密性中。

他们不得不面对那些包含着无穷个元素、但却看起来同样都是无穷小的区间。

归根结底，这些看起来无穷小的有理数缝隙，依旧还不是一个没有大小的点。

虽然它看起来在数轴上占据的长度是零，但这里却藏着无数个无理数，构成了这片有牛顿、莱布尼茨、贝克莱主教的复杂世界。

“因为无理数的定义还不清晰，我们只知道无理数的某些实例，而不知道所有无理数的状况。”

“因此我们这里能用来作为分割标准的只有定义清晰的有理数，”

“一刀将数轴分割成两个部分，将会得到几个不同的结果。”

“第一，左边的A集合有最大元素，右边的b集合没有最小元素。”

“这就说明这一刀砍在了数轴上的某一个有理数p\/q所代表的点上，并且这个点位于左集A之中。”

“如此数轴就被分成了两部分，比如(-∞，2】，(2，＋∞)。”

“数轴上的每一个点都是唯一的，一个点在左集A中，就不可能在右集b中。”

“所以第二种情况，左集A没有最大元素，右集b有最小元素。”

“这两种情况都没有发现数轴的缝隙，因此这些分割就对应所有的有理数。”

“除此之外的第三种情况，左集A没有最大元素，右集b也没有最小元素。”

“这就是有理数之间的缝隙，想要填补这个缝隙就需要无理数，也就是我们现在所在的这个世界。”