作者回归（4 / 4）

下面是运用个位为1和个位为3的无个位合数公式计算结果形成的若干等差数列（计算结果不含个位：

个位为1的公式(1i+1)k+i，计算结果是：12、23、34、45(i=1，k>=1)

个位为1的公式(1i+3)k+7i+2，计算结果是：2、5、8、11(i=，k>=)

个位为1的公式(1i+9)k+9i+8，计算结果是：8、17、26、35(i=，k>=)

个位为3的公式(1i+3)k+i，计算结果是：3、6、9、12(i=1，k>=1)

个位为3的公式(1i+7)k+9i+6，计算结果是：6、13、2、27(i=，k>=)

可以看到21-23为什么不是孪生素数，因为21去掉个位1后，剩余的数字“2”正好是第2行公式的第一个解，故21一定是合数，所以无论23是否为素数，21-23都不可能是孪生素数了。同样31-33也不是孪生素数，因为数字“33”去掉个位3后，剩余的数字“3”正好是第4行公式的第一个解，故33也一定是合数，所以无论31是否为素数，31-33也都不可能是孪生素数了。

可以说在所有的上述公式计算出的解后面分别添加个位1、3后形成的2个数字一定不是孪生素数。而不是上述公式计算出的解（实际就是b集合的补集的后面分别添加个位1、3后形成的2个数字一定是孪生素数。

实际上这就是个位为1、3的孪生素数筛法，其原理就是通过公式计算出个位为1、3的一对数字中那个数字是合数。一旦有一个数字是合数则这一对数字绝不可能是孪生素数了。而公式恰好能计算出所有这样的合数。而没有计算出的数字如1、4、7、1等分别添上个位1、3后就是孪生素数11-13、41-43、71-73、11-13。计算出的数字就是本文开头所述的b集合中的数字，而不能被这些公式计算出的数字，就是a集合中的数字。a、b集合是互补的。

b集合中的数字实质上就是这些公式的不同解。公式的解是由很多等差数列组成的，这其中有很多相同的元素，如前面举例中的5行计算结果中就有2个6、2个12、2个8等。而通过容斥原理是可以计算出若干等差数列中的不同元素数量的。

将所有的公式计算出的解形成的等差数列逐行排列，当然这些等差数列非常的多，重复的元素也是非常的多，不过这都无所谓。用容斥原理统计这些等差数列在n以内的不同元素数量，之后再统计这些等差数列在n-2n区间形成的不同元素数量。你会发现相同的等差数列、相同的长度范围其统计结果会是十分相近的。

这一点每一个人都可以用2、3、5的倍数形成的等差数列演示一下，统计这3个等差数列在每1或1个长度范围内的不同元素数量，就会发现这种规律。

2的倍数、3的倍数、5的倍数组成的3个等差数列，任意截取1个长度时，三个等差数列包含所有的元素中有些是相同的，有些是不同的。而不同的元素的数量可能是72个、73个、74个，不是一个确定的、唯一的数。但绝对不会是8多个，也不会是3多个。

这种情况说明孪生素数也是近似均匀的分布在数轴上的。当n值很大时1-n与n-2n这两个范围内的孪生素数数量，是近似相等的。而n很大时，其左右两个相对较小区间内的孪生素数数量也是近似相等的（比值非常接近1。如下图所示：

用几十、几百、几千范围统计出的孪生素数越来越稀疏的观念如何解释在一万亿如此之大的范围内竟然存在后面区间孪生素数数量要大于前面孪生素数数量的数量，且不是偶然一、两次现象。孪生素数如此均衡的分布，而且是由等差数列决定的，想象一下，下一个一万亿一个孪生素数也没有是什么情况。

将连续的自然数截成若干较长且等长的段，再用一些等差数列去掉所有段上与该等差数列相同的元素，每个段剩余部分数量是否大致相同呢？

若果不同，那它各个段的剩余元素数量又会怎样分布呢?

将连续的自然数截成若干等长且较长的段，再用一些等差数列数列去掉所有段上与该等差数列相同的元素，每个段剩余部分数量是否大致相同呢？

如果不是大致相同，那它各个段的剩余元素数量又会怎样分布呢?

可能出现一个剩余段中所剩无几，而另一个剩余段且是没有被去除几个元素吗？

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