第724章 无缝的实数轴（3 / 6）

无穷小量不会真正抵达0，微积分处理的都是位于0和∞之间的有限量。

一个量减去它自身的一半或一半多，剩余的量再减去剩余的量的一半或一半多。

一直这样减下去，最终就得到一个小于任何事先给定量的量。

当使用“任意小”、“任意大”这类词进行表述时，就代表着不可抵达的潜无穷的观点。

“不过，柯西对于极限的定义依旧有不太完美的地方，尤其是趋近这个具有动态含义的词，暗示了时间和空间的概念。”

“在他之后，魏尔斯特拉斯重新给出极限的定义，也就是教科书上的e-δ语言，不再使用趋近这种暗示了空间和时间的动态定义。”

“利用这个对极限的定义，可以很容易地证明芝诺二分悖论中那个无穷级数的和是1。”

“对了，还有很有名的魏尔斯特拉斯函数，处处连续但处处不可导。”

“这是第一个分形函数，具备自相似性，无限细分放大后依旧还是那布满了锯齿的模样。”

“总之，经过不少聪明人的努力，微积分总算有了一个严格的基础，摆脱了逻辑上的含糊和矛盾，走出了第二次数学危机。”

大略地提了提微积分的发展史，李恒将话题转到了重点上。

“微积分的完善建立在极限思想的基础上，明确了微积分在计算过程中使用的都是不为0的变量。”

“这让整个微积分的计算摆脱了麻烦的无穷大和无穷小，回归到了人类能处理的有限范围内。”

“实数域因此也是最大的阿基米德有序域，给出任何数，总能够挑选出一个整数大于该数，也就是不包括无穷大量和无穷小量。”

“实数的定义域(-∞，＋∞)，这个表示无穷的符号也就再次回归到了亚里士多德的潜无穷的概念，人类的智慧似乎再一次在无穷面前败退了。”

“但，潜无穷和实无穷的概念本就是相互交织的。”

“完善了理论基础的微积分摆脱了麻烦的实无穷，但总有人对真实的无穷的性质感到好奇。”

“毕竟微积分的基础就是连续性，而无理数就是数轴连续性的来源，没有实无穷，只剩下有理数的微积分也不可能存在。”

“微积分基础的严格化解决了很多问题，但也带来了很多新的问题。”